Lecciones de geometría afín

La Geometría Afín trata del paralelismo y la semejanza, y es por tanto tan antigua como las matemáticas griegas. Sin embargo, basta leer el V postulado de Euclides para entender que se considerara un aspecto de la Geometría Euclídea, y no se distinguiera de ella. Luego, con el extraordinario ?orecimiento de la Geometría Proyectiva, pasó a ser un objeto parcial de esta última. Incluso, por su tratamiento analítico, se ha considerado simplemente Álgebra Lineal, de la que la Geometría Proyectiva es la versión geométrica avanzada. La consecuencia es que la Geometría Afín se ha desarrollado con especi?cidad propia muy tardíamente, como muestran las referencias temporales que jalonan ese desarrollo. Las resumi¬mos a continuación.

El cali?cativo afín no apareció hasta mediados del siglo XVIII, cuando en 1748 lo utiliza Euler para señalar relaciones que no involucran mediciones ni ángulos. Después aparecen las coordenadas baricéntricas, a principios del XIX, ideadas en 1827 por Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868) para situar centros de gravedad. Ya a ?nales del XIX Felix Klein (1849-1925) propone su famoso Programa de Erlangen en 1872, que entre otras cosas muestra cómo distinguir qué propiedades deben considerarse a?nes. Pero la de?nición formal de espacio afín no llega hasta principios del siglo XX, cuando en 1918 la introduce Hermann Weyl (1885-1955) en su libro Space, Time and Matter. Y la exuberancia matemática del siglo XX se dedicó después a asuntos mayores.

Un patrón similar se ha repetido en la literatura y la docencia. Necesaria, pero siempre relegada a un papel de apoyo. Ha habido introducciones puramente analíticas al ?nal de un curso de Álgebra Lineal, o presentaciones minimalistas al comienzo de uno de Geometría Proyectiva. En lo tocante a la docencia, esto suele ser consecuencia de las di?cultades que surgen en el aula para cubrir los programas previstos. Lo que hoy se imparte en los grados de Matemáticas son cursos de Geometría Lineal, que incluyen la afín y la proyectiva. Y partes variables de las dos se cubren también en otros grados de Ciencias e Ingenierías.

Hemos escrito estas notas a partir de las clases que de esta materia impar-timos durante muchos años en el Departamento de Geometría y Topología de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid. Hemos querido hacer un libro de texto para su uso directo en el aula. Su exposi-ción debe ocupar un par de meses en el mejor de los casos y apenas uno en las situaciones más apuradas. Los objetivos son:

• De?nir espacio afín mediante una acción vectorial sobre un conjunto de puntos, para distinguir puntos y direcciones. Introducir las variedades a?nes y estudiar sus incidencias: paralelismo y fórmula de Grassmann.
• De?nir las aplicaciones a?nes y sus derivadas. De?nir proyecciones paralelas y a?nidades. Introducir el grupo afín, y sus elementos más distinguidos: traslaciones y homotecias, trasvecciones y dilataciones, simetrías.
• Introducir coordenadas mediante referencias a?nes cartesianas, para tratar con ecuaciones los problemas a?nes. Expresar la proporciones mediante la razón simple de tres puntos alineados y la interpolación lineal.
• Tratar la clasi?cación de aplicaciones a?nes con ecuaciones para hacerla un problema de semejanza de matrices con restricciones, y resolverlo utilizando formas canónicas de Jordan.
• De?nir las cuádricas a?nes, sus ceros, centr...